전자기장 텐서

3. 성질

전자기장 텐서는 반대칭성을 띄고 있어, $F^\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; -\; F^\{\backslash nu\backslash mu\}$의 관계를 가진다.^[3] 전자기장 텐서는 6개의 독립적인 성분을 가지는데, 데카르트 좌표계에서 이는 전기장 (''E_x, E_y, E_z'') 및 자기장 (''B_x, B_y, B_z'')의 세 가지 공간 성분으로 나타낼 수 있다.^[3]

전자기장 텐서 $F\_\{\backslash mu\backslash nu\}$는 4차원 전자기 포텐셜 $A\_\backslash mu$와 4차원 미분 $\backslash partial\_\backslash mu$를 이용하여 다음과 같이 정의된다.^[4]

:$F\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\; A\_\backslash nu\; -\backslash partial\_\backslash nu\; A\_\backslash mu$

여기서 전자기 포텐셜과 미분은 각각 다음과 같다.^[5]

:$A^\backslash mu\; =\; \backslash left($

\frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right),~

A_\mu =\eta_{\mu\nu} A^\nu = \left(

• \frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right)

• E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
• E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
• E_z/c & B_y & -B_x & 0 \\

• B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\
• B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\
• B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \\

3. 1. 불변량

4. 맥스웰 방정식

전자기장 텐서는 맥스웰 방정식을 두 개의 텐서 방정식으로 단순화한다.

이 텐서는 네 개의 벡터 미적분 방정식인 맥스웰 방정식을 두 개의 텐서 방정식으로 줄여준다. 비앙키 항등식은 다음과 같다.^[8]

:$\backslash partial\_\backslash rho\; F\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; +\backslash partial\_\backslash mu\; F\_\{\backslash nu\backslash rho\}\; +\backslash partial\_\backslash nu\; F\_\{\backslash rho\backslash mu\}\; =0$

쌍대 텐서를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수도 있다.^[8]

:$\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash tilde\{F\}^\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash epsilon^\{\backslash mu\backslash nu\backslash rho\backslash sigma\}\backslash partial\_\backslash mu\; F\_\{\backslash rho\backslash sigma\}\; =0$

이 식은 첨자 $\backslash nu$에 대한 4개의 방정식이며, 각각 자기에 대한 가우스 법칙과 맥스웰-패러데이 방정식에 대응한다.

:$\backslash nabla\backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{B\}\; =0$

:$\backslash nabla\backslash times\; \backslash boldsymbol\{E\}$

+

4. 1. 자유 공간에서의 맥스웰 방정식

• \frac{1}{c^2} \frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}

4. 2. 매질 내에서의 맥스웰 방정식

이 텐서 G^μν는 서브 전자기 텐서라고도 불린다. 서브 전자기 텐서는 전자기장의 세기 F^μν와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:$G^\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{Z\_0\}\; F^\{\backslash mu\backslash nu\}\; +P^\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c\backslash mu\_0\}\; F^\{\backslash mu\backslash nu\}\; +P^\{\backslash mu\backslash nu\}$

여기서 P^μν는 분극 텐서이며, 그 성분은 유전 분극 P와 자화 M이다. 구체적으로 다음과 같다.

서브 전자기 텐서 G^μν와 분극 텐서 P^μν를 행렬 형태로 나타내면 다음과 같다.

매질 중의 운동 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash partial\_\backslash mu\; G^\{\backslash mu\backslash nu\}\; =-\backslash frac\{1\}\{c\}\backslash ,\; j^\backslash nu$

이는 성분별로 다음과 같다.

:$\backslash nabla\backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{D\}\; =\backslash rho$

:$\backslash nabla\backslash times\; \backslash boldsymbol\{H\}$

• \frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}

5. 로런츠 힘

로런츠 힘을 상대론적으로 기술할 때 전자기장 텐서가 사용된다.

상대론적 입자의 위치를 X|엑스^영어 = (ct|시티^영어, '''r'''|아르^영어)로 나타낼 때, 전하 q|큐^영어를 띤 하전 입자에 작용하는 로런츠 힘은 다음과 같다.^[4]

: $\backslash dot\{p\}\_\backslash mu\; =-q\backslash dot\{X\}^\backslash nu\; F\_\{\backslash nu\backslash mu\}(X)$

여기서 p|피^영어는 입자의 4차원 운동량이다. 점은 운동의 매개변수에 대한 미분이다.

6. 상대성 이론

전자기장 텐서는 전자기장이 텐서 변환 법칙을 따른다는 사실에서 그 이름이 유래되었으며, 이러한 물리 법칙의 일반적인 속성은 특수 상대성 이론이 등장한 후에 인식되었다.

6. 1. 특수 상대성 이론

7. 라그랑주 형식

고전 전자기학과 맥스웰 방정식은 다음 작용으로부터 유도될 수 있다.

:$\backslash mathcal\{S\}\; =\; \backslash int\; \backslash left(\; -\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash mu\_0\}\; F\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; F^\{\backslash mu\backslash nu\}\; -\; J^\backslash mu\; A\_\backslash mu\; \backslash right)\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x\; \backslash ,$

여기서 $\backslash mathrm\{d\}^4\; x$는 공간과 시간에 대한 적분이다. 이는 라그랑지안 밀도가 다음과 같음을 의미한다.

:$\backslash begin\{align\}$

\mathcal{L} &= -\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu \\

&= -\frac{1}{4\mu_0} \left( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \right) \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) - J^\mu A_\mu \\

&= -\frac{1}{4\mu_0} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu + \partial_\nu A_\mu \partial^\nu A^\mu \right) - J^\mu A_\mu \\

\end{align}

괄호 안의 두 중간 항은 같고, 두 외부 항도 같으므로 라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\{L\}\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash mu\_0\}\; \backslash left(\; \backslash partial\_\backslash mu\; A\_\backslash nu\; \backslash partial^\backslash mu\; A^\backslash nu\; -\; \backslash partial\_\backslash nu\; A\_\backslash mu\; \backslash partial^\backslash mu\; A^\backslash nu\; \backslash right)\; -\; J^\backslash mu\; A\_\backslash mu.$

이것을 장에 대한 오일러-라그랑주 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial\; (\; \backslash partial\_\backslash mu\; A\_\backslash nu\; )\}\; \backslash right)\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial\; A\_\backslash nu\}\; =\; 0$

따라서 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:$-\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\_0\}\; \backslash left(\; \backslash partial^\backslash mu\; A^\backslash nu\; -\; \backslash partial^\backslash nu\; A^\backslash mu\; \backslash right)\; +\; J^\backslash nu\; =\; 0.\; \backslash ,$

위 괄호 안의 양은 장 텐서이므로, 최종적으로 다음과 같이 단순화된다.

:$\backslash partial\_\backslash mu\; F^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; \backslash mu\_0\; J^\backslash nu$

이 방정식은 두 개의 비제차 맥스웰 방정식 (즉, 가우스 법칙과 앙페르 회로 법칙)을 다음과 같이 치환하여 나타낸 것이다.

:$\backslash begin\{align\}$

\frac{1}{c}E^i &= -F^{0 i} \\

\epsilon^{ijk} B_k &= -F^{ij}

\end{align}

여기서 ''i, j, k''는 1, 2, 3의 값을 갖는다.

8. 해밀턴 형식

해밀턴 밀도는 다음과 같은 일반적인 관계를 사용하여 얻을 수 있다.

:$\backslash mathcal\{H\}(\backslash phi^i,\backslash pi\_i)\; =\; \backslash pi\_i\; \backslash dot\{\backslash phi\}^i(\backslash phi^i,\backslash pi\_i)\; -\; \backslash mathcal\{L\}$.

9. 양자 전기 역학 및 장론

라그랑지안은 상대성이론에서 확립된 고전적 라그랑지안을 넘어 광자(및 전자)의 생성과 소멸을 통합하도록 확장된다.

:$\backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash bar\backslash psi\; \backslash left(i\backslash hbar\; c\; \backslash ,\; \backslash gamma^\backslash alpha\; D\_\backslash alpha\; -\; mc^2\backslash right)\; \backslash psi\; -\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash mu\_0\}\; F\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\; F^\{\backslash alpha\backslash beta\},$

여기서 오른편의 첫 번째 부분은 디랙 스피너 $\backslash psi$를 포함하며, 디랙 장을 나타낸다. 양자장론에서 게이지 장 세기 텐서의 템플릿으로 사용된다. 국소 상호작용 라그랑지안과 함께 사용됨으로써 QED에서의 일반적인 역할을 다시 수행한다.

10. 좌표계 표현

전자기장 세기(field strength^영어) $F\_\{\backslash mu\backslash nu\}$는 2계 텐서로, 다음과 같이 정의된다.^[4]

:$F\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\; A\_\backslash nu\; -\backslash partial\_\backslash nu\; A\_\backslash mu$

여기서 $A\_\backslash mu$는 상대론적인 4원 벡터의 전자기 포텐셜이다.

:$A^\backslash mu\; =\; \backslash left($

\frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right),~

A_\mu =\eta_{\mu\nu} A^\nu = \left(

• \frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right)^[5]

10. 1. 직교 좌표계

• E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
• E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
• E_z/c & -B_y & B_x & 0

10. 2. 구면 좌표계

• E_r/c & 0 & B_\varphi/r & -B_\theta/r\sin\theta \\
• E_\theta/cr & -B_\varphi/r & 0 & B_r/r^2\sin\theta \\
• E_\varphi/cr\sin\theta & B_\theta/r\sin\theta & -B_r/r^2\sin\theta & 0 \\

• \frac{1}{4\pi\epsilon_0c} \frac{q}{r^2} & 0 & 0 & 0 \\

참조

_[1] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[2] 서적 Introduction to Electrodynamics Pearson Education, Dorling Kindersley
_[3] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[4] 문서 ランダウ, リフシッツ pp.67-69, §23.電磁場テンソル
_[5] 문서 ここではミンコフスキー計量の符号を η=diag(-1,+1,+1,+1) に選んでいる。
_[6] 문서 ジャクソン 819頁
_[7] 문서 ジャクソン 820頁
_[8] 문서 ランダウ, リフシッツ pp.74-75, §26.マクスウェル方程式の第1の組
_[9] 문서 ランダウ, リフシッツ pp.285-287, §90.